\(Lucas\)定理

$ C_n^m\pmod p\equiv C_{n\mod p}^{m\mod p}*C_{\lfloor n/p\rfloor}^{\lfloor m/p\rfloor}\pmod p $

一句话概括，就是一个组合数可以拆成\(P\)进制下的乘积

这个算法可以处理当\(m,n\)非常大的时候的取模\((\)当然你可以用高精度处理\()\)

需要注意的几点

\(Lucas(x,0,mod)=1\)，直接返回\(1\)即可

注意处理阶乘的数组 \(a[0]=1\)，因为\(0!=1\)

开\(long~long\)

注意处处取模

\(Describtion\)

给定\(n,m,p(1<=n,m,p<=10^5)\)

求\(C_{n+m}^m\ mod\ p\)

保证\(p\)为质数

\(Input\)

第一行一个数\(T(T<=10)\)，表示数据组数

第二行开始共\(T\)行，每行三个数\(n,m,p\)

\(Output\)

共\(T\)行,每行一个整数表示答案

\(Solution\)

就是模板，我又有什么可说的呢

用\(a[i]\)表示\(i\)的阶乘，当然要取模

有个特别注意的点，当且仅当\(gcd(a,p)=1\)且\(p\)是质数时，\(a^{p-1}=1\pmod p\)(费马小定理)成立，所以这个题直接用费马小定理处理逆元即可

具体细节自己看代码吧

#include
    
     #include
     
      #define maxn 100010#define ll long longusing namespace std;ll a[maxn];int T,n,m,p;ll quickpower(ll A,int B,int mod){    A%=mod;    ll ans=1;    while(B)    {        if(B&1)        ans=(ans*A)%mod;        A=(A*A)%mod;        B>>=1;    }    return ans%mod;}inline int read(){    int x=0,f=1; char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}ll CC(ll n,ll m){    /*注意判断*/if(m>n) return 0;    //注意取模     //费马小定理求逆元     return ((a[n]*quickpower(a[m],p-2,p))%p*quickpower(a[n-m],p-2,p)%p); }ll Lucas(ll n,ll m){    if(!m) return 1;    return CC(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;//注意取模 }int main(){    T=read();    while(T--)    {        n=read(); m=read(); p=read();        a[0]=1;//特别注意!!!        for(int i=1;i<=p;++i) a[i]=(a[i-1]*i)%p;        printf("%d\n",Lucas(n+m,m));    }    return 0;}